\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{mathtext}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage{gensymb}
\usepackage{tikz}
\usepackage{wrapfig}

\author{Сафронов М.~А.}
\title{Решения задач варианта 10}

\begin{document}
\maketitle

\section{Задание B8}

\begin{wrapfigure}[27]{r}{0.25\textwidth}

\resizebox{!}{12cm} {

  \begin{tikzpicture}[domain=-3.5:1.5][scale=0.5]

    \draw (0,0) node[below left] {$0$};
    \draw (1,0) node[below left] {$1$};
    \draw (0,1) node[below left] {$1$};
    
    \draw[dotted, thin] (-3,-19) grid (1, 2);

    \draw[->, thick] (0, -20) -- (0, 3) node[left] {$y$};

    \draw[->, thick] (-4, 0) -- (2, 0) node[right] {$x$};

    \draw[color=red] plot[id=para] function{x*x + 5*x -7} node[right] {$y = x^2 + 5x - 7$};

    \draw[color=blue,dashed] plot[id=x] function{3*x -10} node[right] {$y = 3x-10$};

  \end{tikzpicture}
}

\end{wrapfigure}

\subsection{Задание}
Прямая $y = 3x-10$ параллельна касательной к графику функции $y = x^2 + 5x - 7$. Найдите абсциссу точки касания.


\subsection{Решение}
Если прямые параллельны, то они имеют один и тот же угол наклона.

Если прямая описана уравнением $y = ax+b$, то коэффициент $a$ влияет на угол наклона.

Угол наклона касательной к графику функции равен значению производной этой функции в точке касания

В уравнении $y = 3x-10$ угловой коэффициент равен $3$.

Так как дано, что касательная параллельна некоей прямой с угловым коэффициентом $3$, значит, значение производной должно быть $3$.

Производная данной функции:

\begin{align}
y & = x^2 + 5x - 7\\
y' & = (x^2 + 5x - 7)'\\
y' & = 2x + 5
\end{align}

Как мы уже определили, $y'$ должно быть равно $3$.

Найдём $x$:

\begin{align}
2x + 5 & = 3\\
x + 2.5 & = 1.5\\
x & = 1.5 - 2.5\\
x & = -1
\end{align}

<<Абсцисса точки>> это просто значение её координаты $x$.

Таким образом, решением данной задачи является число $\textbf{-1}$.

\section{Задание B9}

\subsection{Задание}
Найдите угол $B_1DC_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB=12, C_1C = 16, AD = 20$ (см.~рис.). Ответ дайте в градусах.

\begin{tikzpicture}

\draw (0,0) rectangle (2,3);
\draw (0,3) node[left] {$A_1$};

\draw[dashed] (0,0) node[left] {$A$} -- +(1,1) node[left] {$B$};
\draw (2,0) node[right] {$D$} -- +(1,1) ;
\draw (0,3) -- +(1,1) node[left] {$B_1$};
\draw (2,3) node[right] {$D_1$} -- +(1,1) node[right] {$C_1$};

\draw (3,1) node[right] {$C$} -- (3,4);
\draw (1,4) -- (3,4);

\draw[dashed] (1,1) -- (1,4);
\draw[dashed] (1,1) -- (3,1);

\draw[color=red,dotted,thick] (1,4) -- (2,0) -- (3,4);

\end{tikzpicture}

\subsection{Решение}
Так как наша фигура --- параллелепипед, то мы имеем очень много полезных свойств.

Раз $AB = 12$, то $CD$ тоже равно $12$.

Рассмотрим $\triangle C_1CD$:

\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[left] {$D$} -- (2,0) node[right] {$C$} -- (2,4) node[right] {$C_1$} -- cycle;
\draw (1,0) node[below,font=\footnotesize] {12};
\draw (2,2) node[right,font=\footnotesize] {16};
\draw (1,2) node[left,font=\footnotesize] {$x$};

\draw (1.9,0) -- (1.9, 0.1) -- (2, 0.1);
\end{tikzpicture}

Найдём длину стороны $C_1D$ по теореме Пифагора:

\begin{align}
x^2 & = 12^2 + 16^2\\
x & = \sqrt{144 + 256}\\
x & = 20
\end{align}

Длина $B_1C_1$ равна длине $AD$, которая известна и равна 20.
Рассмотрим $\triangle B_1DC_1$:

\begin{tikzpicture}
\draw (2,0) node[right] {$D$} -- (2,3) node[right] {$C_1$} -- (0,3) node[left] {$B_1$} -- cycle;

\draw (2,1.5) node[right,font=\footnotesize] {20};
\draw (1,3) node[above,font=\footnotesize] {20};
\draw (1,1.5) node[left,font=\footnotesize] {$y$};

\draw (2,2.9) -- (1.9, 2.9) -- (1.9, 3);
\end{tikzpicture}

Как мы видим, это равнобедренный прямоугольный треугольник.
Мы могли бы найти величину искомого угла при помощи определения косинуса, но известно, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому $\angle B_1DC_1 = \angle C_1B_1D$.
Нам известно, что $\angle B_1C_1D = 90\degree$.

Отсюда, так как сумма углов в треугольнике должна быть равна $180\degree$:

\begin{align}
\angle C_1B_1D + \angle B_1DC_1 + \angle B_1C_1D & = 180\\
x + x + 90 & = 180\\
2x & = 180 - 90\\
x & = 90 / 2\\
x & = 45\\
\end{align}

\textbf{Ответ: $\angle B_1DC_1 = 45\degree$.}

\section{Задание B11}

\subsection{Задание}
Боковые рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны $5$, сторона основания равна $6$. 
Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

\subsection{Решение}
Так как пирамида правильная, все треугольники в ней равнобедренные, а в основании квадрат.
Поверхность складывается из площадей четырёх равных треугольников и квадрата.

Таким образом, задача сводится к задаче нахождения площади равнобедренного треугольника по трём его сторонам.
Рассмотрим треугольник на стороне пирамиды:

\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[left] {$A$} -- (2,0) node[right] {$B$} -- (1,2) node[above] {$C$} -- cycle;
\draw[dashed] (1,0) node[below] {$D$} -- (1,2);

\draw (0.5,1) node[left,font=\footnotesize] {$5$};
\draw (1.5,1) node[right,font=\footnotesize] {$5$};
\draw (0.5,0) node[above,font=\footnotesize] {$3$};
\draw (1.5,0) node[above,font=\footnotesize] {$3$};
\end{tikzpicture}

Площадь этого треугольника вычисляется по формуле:

\begin{equation}
S = \frac{1}{2}AB \cdot CD
\end{equation}

Найдём $CD$ по теореме Пифагора:

\begin{align}
CD^2 & = CB^2 - DB^2\\
CD & = \sqrt{5^2 - 3^2}\\
CD & = \sqrt{25 - 9}\\
CD & = 4
\end{align}

Таким образом, площадь стороны искомой пирамиды равна $1/2 \cdot 4 \cdot 6 = 12$.

Площадь квадрата в основании, очевидно, равна $4 \cdot 6 = 24$.

\textbf{Таким образом, площадь поверхности этой пирамиды равна $24 + 12 \cdot 4 = 24 + 48 = 72$}.

\section{Задание B12}

Пропустите это задание.

\section{Задание B13}

\subsection{Задание}
Из пункта $A$ в пункт $B$, расстояние между которыми 60 км, выехал с постоянной скоростью велосипедист, а через полчаса после него со скоростью на 10 км/ч больше выехал второй велосипедист.
Найдите скорость первого велосипедиста, если в пункт $B$ он прибыл на 30 минут позже второго.
Ответ дайте в км/ч.

\subsection{Решение}
Дано:
\begin{align}
S = 60\\
v_2 = v_1 + 10
\end{align}

Первый велосипедист выехал на 30 минут раньше и приехал на 30 минут позже, то есть, в сумме он ехал на 1 час дольше, откуда:

\begin{equation}
t_2 = t_1 - 1
\end{equation}

Мы знаем, что скорость выражается через расстояние и время следующим образом:

\begin{equation}
v = \frac{S}{t}
\end{equation}

Откуда:

\begin{equation}
S = vt
\end{equation}

Так как оба велосипедиста проехали одинаковое расстояние, получаем следующее уравнение:

\begin{align}
v_1 t_1 & = v_2t_2\\
v_1 t_1 & = (v_1 + 10) (t_1 - 1)\label{eq:mainformula}
\end{align}

Выразим, например, $t_1$ через $v_1$:

\begin{align}
v_1 t_1 & = 60\\
t_1 & = 60 / v_1
\end{align}

Мы знаем, что $v_1 \ne 0$, так как очевидно, велосипедист ехал с ненулевой скоростью, поэтому деление на $v_1$ правомерно.
Подставим полученное выражение $t_1$ в \eqref{eq:mainformula}:

\begin{align}
v_1 \frac{60}{v_1} & = (v_1 + 10) (\frac{60}{v_1} - 1)\\
60 & = \frac{60 v_1}{v_1} + \frac{60 \cdot 10}{v_1} -v_1 -10\\
60 + 10 & = 60 + \frac{600}{v_1} - v_1\\
10 & = \frac{600}{v_1} - v_1\\
10 + v_1 - \frac{600}{v_1} & = 0\\
v_1^2 + 10 v_1 - 600 & = 0
\end{align}

Решим полученное квадратное уравнение формулой <<в лоб>>:

\begin{align*}
x_{1,2} & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\
a = 1\\
b = 10\\
c = -600\\
x_{1,2} & = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot 600}}{2}\\
x_{1,2} & = \frac{-10 \pm \sqrt{2500}}{2}\\
x_{1,2} & = \frac{-10 \pm 50}{2}\\
x_1 & = \frac{40}{2} = 20\\
x_2 & = \frac{-60}{2} = -30 
\end{align*}

Отрицательная скорость для наших нужд не годится, поэтому заключаем, что \textbf{первый велосипедист ехал со скоростью 20 км/ч.}

Проверяем:
\begin{align}
t_1 & = \frac{60 \text{км}}{20 \text{км/ч}}\\
t_1 & = 3 \text{ч}\\
v_2 & = v_1 + 10 \text{км/ч}\\
v_2 & = 30 \text{км/ч}\\
t_2 & = \frac{60 \textrm{км}}{30 \textrm{км/ч}}\\
t_2 & = 2 \textrm{ч}\\
t_2 & \equiv 3 \textrm{ч} - 1 \textrm{ч} \equiv t_1 - 1 \textrm{ч} 
\end{align}

Верно.

\section{Задание B14}

\subsection{Задание}
Найдите наименьшее значение функции $y = 2 \sin x - 8x + 3$ на отрезке $[ -\frac{\pi}{2} ; 0 ]$.

\subsection{Решение}
На любом отрезке своей области определения непрерывная функция может иметь наименьшее значение в одной из трёх точек:

\begin{enumerate}
\item Левый край отрезка
\item Локальный минимум функции в пределах отрезка
\item Правый край отрезка
\end{enumerate}

Локальный минимум функции это точка, удовлетворяющая трём условиям:

\begin{enumerate}
\item Слева от этой точки производная отрицательная, то есть, функция убывает
\item В этой точке производная равна нулю, то есть, функция меняет направление с убывающего на возрастающее
\item Справа от этой точки производная положительна, то есть, функция возрастает
\end{enumerate}

Найдём производную этой функции:

\begin{align}
y' & = (2 \sin x - 8x + 3)'\\
y' & = (2 \sin x)' - (8 x)' + (3)'\\
y' & = 2 (\sin x)' - 8 (x)' + 0\\
y' & = 2 \cos x - 8
\end{align}

Найдём ноль полученной производной:

\begin{align}
2 \cos x - 8 & = 0\\
\cos x - 4 & = 0\\
\cos x & = 4
\end{align}

Так как косинус на поле действительных чисел не может иметь значения больше $1$, значит, решений у этого уравнения нет, откуда заключаем, что у производной данной функции нет нуля, то есть, она имеет постоянный знак, а значит, исходная функция монотонна.

Найдём знак производной, подставив какое-нибудь значение $x$ из рассматриваемого интервала:

\begin{align}
& 2 \cos x - 8 = \{ x = -\frac{\pi}{4} \} =\\
& 2 \cos -\frac{\pi}{4} - 8 =\\
& = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 8 =\\
& = \sqrt{2} - 8\\
& < 0\\
\end{align}

То есть, производная отрицательна на рассматриваемом отрезке, а значит, исходная функция постоянно убывает.
Отсюда делаем вывод, что минимальное значение на рассматриваемом отрезке исходная функция принимает на правом крае отрезка, в точке $x = 0$.

Найдём это значение:

\begin{align}
& 2 \sin x - 8 x + 3 = \{ x = 0 \} =\\
& = 2 \sin 0 - 8 \cdot 0 + 3 =\\
& = 3
\end{align}

\textbf{Наименьшее значение функции $y = 2 \sin x - 8 x + 3$ на отрезке $[ -\frac{\pi}{2} ; 0 ]$ равно 3 в точке $x = 0$}.

Проверяем:

\begin{align}
& 2 \sin x - 8 x + 3 = \{ x = -\frac{\pi}{2} \} =\\
& = 2 \sin -\frac{\pi}{2} -8 \cdot -\frac{\pi}{2} + 3 =\\
& = 2 \cdot (-1) + \frac{8\pi}{2} + 3\\
& > 3
\end{align}

Верно. На левом крае рассматриваемого отрезка значение функции больше, чем на правом.




\end{document}
